Live Lesson

Что такое термодинамика? Почему обжегшись, мы хватаемся за мочку уха? Почему плов надо готовить в казане, а варенье варить в медном тазе? Почему серебрянные ложки понижают температуру чая быстрее, чем алюминиевые? Как работают холодильники и тепловые двигатели? Как "работают" термосы? 

Задача: После опускания в воду, имеющую температуру 10⁰С, тела, нагретого до 100⁰С, через некоторое время установилась общая температура 40⁰С. Какой станет температура воды, если, не вынимая первого тела, в нее опустить еще одно такое же тело, нагретое до 100⁰С? 

Дано: t₁=10⁰С; t₂=100⁰С; t₃=40⁰С

Найти: t-?

Решение: 1. Уравнение теплового баланса для первого случая Q₁+Q₂=0

Q₁=Q_вода=c_воды*m_воды*∆Т₁=c_воды*m_воды*∆t₁=c_воды*m_воды*(t₃-t₁)=c_воды*m_воды*30

Q₂=Q_тела=с_тела*m_тела*∆Т₂=с_тела*m_тела*∆t₂=с_тела*m_тела*(t₃-t₂)=-с_тела*m_тела*60

Тогда c_воды*m_воды*30-с_тела*m_тела*60=0 или c_воды*m_воды=2*с_тела*m_тела

2. Уравнение теплового баланса для второго случая Q₁+Q₂+Q₃=0

с_тела*m_тела*(t-40)+c_воды*m_воды*(t-40)+с_тела*m_тела*(t-100)=0

с_тела*m_тела*(t-40)+2*с_тела*m_тела*(t-40)+с_тела*m_тела*(t-100)=0

Тогда 3*(t-40)+(t-100)=0 или 4*t=220 или t=55⁰C

 Ответ: вода нагреется до 55⁰C

 Задача: Через воду, имеющую температуру 10⁰С, пропускают водяной пар при 100⁰С. Сколько процентов составит масса воды, образовавшейся из пара, от массы всей воды в сосуде в момент, когда ее температура достигнет 50⁰С?

Дано: t₁=10⁰C; t₂=100⁰C; t=50⁰C; c_воды=4200 Дж/(кг*К); r=2.3*10⁶ Дж/кг

Найти: ∆m/m-?

Решение: Уравнение теплового баланса с*m*(t-t₁)=r*∆m+c*∆m*(t₂-t)

Тогда ∆m/m=с*(t-t₁)/(r+c(t₂-t))=

=4200[Дж/(кг*К)]*40[K]/(2.3*10⁶[Дж/кг]+4200[Дж/(кг*К)]*50[K]≈0.067

Ответ: масса воды составит примерно 6.7% 

Задача: Шарик, подвешенный на нити длиной l, отвели в положение В и отпустили. После удара о стенку шарик отклонился на угол α до положения С. На сколько повысилась температура шарика, если k % потерянной механической энергии перешло во внутреннюю энергию шарика? Удельную теплоемкость с вещества шарика считать известной.

Дано: l, k, c, α

Найти: ∆Т-?

Решение: Разница потенциальных энергий шарика в двух указанных положениях равна

m*g*l-m*g*(l-l*cosα)=∆E_п  

Тогда m*g*l-m*g*(l-l*cosα)*(k/100)% этой энергии пойдет на повышение температуры шарика, т.е. m*g*l-m*g*(l-l*cosα)*(k/100)=c*m*∆Т

Откуда ∆Т=(m*g*l-m*g*(l-l*cosα)*(k/100))/(c*m)=g*l*cosα*k/(100*c)

Ответ: температура шарика повысится на ∆Т=g*l*cosα*k/(100*c)

Задача: Найдите по таблицам значение удельной теплоемкости воздуха c_p и, зная молярную массу М, вычислите, во сколько раз большее количество теплоты потребуется для изобарного нагревания, чем для изохорного. Масса воздуха и разность температур в обоих случаях одинаковы.

Дано: c_p=1.01*10³ Дж/(кг*К); М=29*10^-3 кг/моль

Решение: 1. Изобарный нагрев (р – const). Согласно первому закону термодинамики Q₁=∆U₁+A, где

Q₁=c_pm∆T;  A=p∆V  

(V₁/T₁=V₂/T₂ => V₂=V₁*T₂/T₁ => ∆V=V₂-V₁=V₁*T₂/T₁-V₁=V₁*(T₂/T₁-1)=V₁*((T₂-T₁)/T₁)=V₁*∆T/T₁)

Тогда A=(p₁V₁/T₁)*∆T. Учитывая уравнение Менделеева-Клапейрона p₁V₁/T₁=(m/M)*R, получим A=(m/M)*R*∆T

Тогда c_pm∆T=∆U₁+(m/M)*R*∆T

2. Изохорный нагрев (V – const). Согласно первому закону термодинамики Q₂=∆U₂, где

Q₂=c_Vm∆T  

Так как ∆U₁=∆U₂=∆U и Q₁-Q₂=c_pm∆T-c_Vm∆T=(m/M)*R*∆T или c_p-c_V=R/M => c_V= c_p-R/M

3. Q₁/Q₂=c_p/c_V=c_p/(c_p-R/M)≈

1.01*10³ [Дж/(кг*К)]/(1.01*10³ [Дж/(кг*К)] – (8.31 [Дж/(моль*К)]/2.9*10^-2 [кг/моль]≈1.4

Q₁/Q₂=c_p/c_V=(∆U+A)/∆U=1+p∆V/∆U=1+(m/M)*R*∆T/((3/2)*(m/M)*R*∆T)=1+2/3≈1.67

∆U=(i/2)*(m/M)*R*∆T, где i – число степеней свободы молекул (для одноатомного газа i=3, для двухатомного газа i=5, для многоатомного газа i=6).

Молекулярная теплоемкость С=М*с, С_V=(i/2)*R, C_p=C_V+R  Молекулярная теплоемкость целиком определяется числом степеней свободы молекул газа.

Задача: Во сколько раз количество теплоты, которое идет на нагревание газа при постоянном давлении, больше работы, совершаемой газом при расширении? Удельная теплоемкость газа при постоянном давлении с_р, молярная масса М.

Дано: с_р, М

Решение: Q=∆U+A,

Q=c_pm∆T; A=p∆V=(m/M)*R*∆T

Тогда Q/А=М*c_p/R 

Задача: Междугородный автобус прошел путь 80 км за 1 час. Двигатель при этом развивал среднюю мощность 70 кВт при КПД, равном 25%. Сколько дизельного топлива, плотность которого 800 кг/м³, сэкономил водитель в рейсе, если норма расхода горючего 40 л на 100 км пути?

Дано: l=80 км; t=1 час=3600 с; N=70 кВт=7*10⁴ Вт; η=25%=0.25; ρ=800 кг/м³; α=4.2*10⁷ Дж/кг; n=40 л/100 км

Найти: ∆V-?

Решение: (ρ*V₁)*α*η=N*t => V₁=N*t/(ρ*α*η)=0.03 м³=30 л

∆V=V-V₁=V-l*n=30 л-80 км*(40 л/100 км)=2 л

Ответ: ∆V=2 л

Задача: Автомобиль массой 4600 кг трогается с места на подъеме, равном 0.025, и, двигаясь равноускоренно, за 40 с проходит 200 м. Найти расход бензина (в литрах) на этом участке, если коэффициент сопротивления 0.02 и КПД равен 20%.

Дано: m=4.6*10³ кг; sinβ=0.025; t=40 c; ρ=700 кг/м³; l=200 м; α=4.6*10⁷ Дж/кг; µ=0.02; η=20%=0.02

Найти: V-?

Решение:1. Пишем уравнение движения с учетом всех сил: m*a=F+m*g+F_тр.+N

x:          m*a=F-F_тр.-m*g*sinβ

y:           0=N-m*g*cosβ

F_тр.=µ*N => m*a=F-m*g*(sinβ+µ*cosβ)

Учитывая, что β<0.1, получим F≈m*(a+g*sinβ+g*µ)

1. l=a*t²/2; a=2*l/t²
2. A=F*l≈m*l*(2*l/t²+g*sinβ+g*µ)
3. V*ρ*α*η≈m*l*(2*l/t²+g*sinβ+g*µ)

Откуда V≈(m*l/ρ*α*η)*(2*l/t²+g*sinβ+g*µ)≈10^-4 м³

Ответ: V≈10^-4 м³