Live Lesson

Электромагнетизм (примеры решения задач)

Задача. По длинному горизонтальному прямому проводу, находящемуся в однородном магнитном поле Н₀, протекает ток I. Силовые линии магнитного поля направлены горизонтально и перпендикулярно проводу. Напряженность магнитного поля в точке М, расположенной на расстоянии R от проводника, равна Н. Угол между направлением силовых линий однородного поля и отрезком КМ равен φ.

Дано: Н=20А/м; Н₀=15А/м; R=0.2м; φ=90⁰.

Найти: I-?

Решение:

Ответ:

 Задача. Внутри соленоида длины l с обмоткой из N витков расположена квадратная рамка со стороной a, причем плоскость рамки составляет угол α с осью соленоида. Ток в соленоиде I; магнитный поток, пронизывающий рамку, равен Ф. Индукция магнитного поля в соленоиде В.

Дано: l=0.7м; N=700; a=0.03м; α=45⁰; I=1.4А

Найти: В, Ф-?

Решение: Поле внутри соленоида можно считать однородным.

В этом случае напряженность поля равна H=I*n, где n= N/ l

Индукция В=μμ₀IN/l, где μ – магнитная проницаемость среды (для воздуха μ=1); μ₀ – магнитная постоянная (μ₀=12.56*10^-7Гн/м).

Тогда В=1*12.56*10^-7*1.4*700/0.7=17.58*10^-4≈1.8*10^-3Тл

Магнитный поток однородного магнитного поля Ф=ВScosα

S=a²=(3*10^-2)²=9*10^-4м²

cos45⁰=(1/2)^1/2≈0.7071

Ф=1.8*10^-3*9*10^-4*0.7071=11.45*10^-7Вб≈1.15*10^-6Вб

Ответ: В≈1.8*10^-3Тл; Ф≈1.15*10^-6Вб

 Задача. Плоский прямоугольный контур с размерами сторон a и b, по которому течет ток I, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией В. Число витков в контуре N, площадь S. При повороте контура относительно его оси, проходящей через середину его противоположных сторон на угол β, совершается работа А.

Дано: S=0.2м²; I=9А; N=40; В=4.8Тл; А=0.3Дж

Найти: β-?

Решение: работа при повороте контура А=IΔФN, где Ф=ВScosβ

Следовательно А=INВScosβ

Откуда cosβ=А/INВS=0.3/(40*9*4.8*0.2)=1/(40*16*1.8)=1/1152≈0.001

Итак β≈89⁰50'

Ответ: β≈89⁰50'

 Задача. Частица с зарядом q и массой m прошла ускоряющую разность потенциалов U и влетела со скоростью υ в скрещенное под прямым углом электрическое Е и магнитное В поля. При этом она двигается по прямой.

Дано: Е=1В/см; В=0.6Тл; q/e=3; U=2000В

Найти: m, υ-?

Решение: В магнитном поле с индукцией В на заряд, движущийся со скоростью υ перпендикулярно линиям индукции действует сила Лоренца F_l=Beυ

Со стороны электрического поля на заряд действует сила F=qE

Поскольку частица продолжает двигаться по прямой, эти силы равны qE=Beυ

Откуда υ=qE/(еВ)=3*1*10²/0.6=1*10²/(2*10^-1)=10³/2=500м/с

За счет ускоряющей разницы потенциалов U, частица приобретает кинетическую энергию mυ²/2, равную работе А сил электрического поля mυ²/2=еU

Откуда находим массу частицы m=2еU/υ²

С учетом заряда электрона е=1.6*10^-19Кл

окончательно имеем

m=2*1.6*10^-19*2*10³/(5*10²)²= 6.4*10^-16/(2.5*10⁵)≈2.56*10^-21кг

Ответ: m≈2.56*10^-21кг, υ=500м/с

 Задача. Между полюсами электромагнита помещена небольшая катушка, расположенная так, что оси катушки и полюсных наконечников магнита совпадают. Площадь поперечного сечения катушки S, число витков N. При повороте катушки на 180⁰ через соединенный с ней баллистический гальванометр протекает заряд q. Магнитная индукция поля электромагнита – В. Сопротивление катушки гальванометра, соединительных проводов и катушки – R.

Дано: N=80; S=2.2см²; R=70Ом; q=80.4*10^-6Кл

Найти: В-?

Решение: Работа, совершаемая силами магнитного поля при повороте катушки на 180⁰

А=IΔФN=IBSN

Работа перемещения заряда в электрическом поле из точки с потенциалом φ₁ в точку с потенциалом φ₂

А=q(φ₁-φ₂)=qU

Учитывая закон Ома, I=U/R, U=IR, имеем A=qIR

Приравниваем выражения для работ IBSN=qIR

Откуда В=qR/(SN)

B=80.4*10^-6*70/(80*2.2*10^-4)=562.8*10^-2/17.6=31.98*10^-2Tл

Ответ: В=31.98*10^-2Тл

 Задача. Длина соленоида с немагнитным сердечником l, площадь поперечного сечения S, индуктивность L, число витков N. По соленоиду течет ток I, при этом напряженность магнитного поля внутри соленоида Н, магнитная индукция В, объемная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида ω_m.

Дано: l=0.26м; S=5 см²; I=6А; Н=4.8*10³А/м

Найти: ω_m, L-?

Решение: Индуктивность соленоида L=μμ₀n²lS

μ – магнитная проницаемость среды (для воздуха μ=1)

μ₀ – магнитная постоянная (μ₀=12.56*10^-7Гн/м)

n – число витков на единицу длину.

Поле внутри соленоида можно считать однородным. В этом случае напряженность поля равна H=In. Откуда n=H/I

Следовательно, L=μμ₀(H/I)²lS

L=1*12.56*10^-7(4.8*10³/6)²*0.26*5*10^-4=16.328*10^-11*0.64*10⁶=

=10.44992*10^-5Гн

Объемная плотность энергии магнитного поля соленоида вычисляется по формуле ω_m=ВН/2. Учитывая выражение для индукции магнитного поля В=μμ₀H, пишем ω_m=μμ₀HН/2=μμ₀H²/2

ω_m=1*12.56*10^-7*(4.8*10³)²/2=12.56*10^-7*23.04*10⁶/2≈14.5Дж/м³

Ответ: ω_m≈14.5Дж/м³, L≈1.0*10^-4Гн

Задача. Электрон движется по окружности в однородном магнитном поле с напряженностью Н=5*10³А/м. Определить частоту обращения n электрона.

Угловая скорость электрона ω=2πn, при этом линейная скорость υ=ωR, где R - радиус окружности. Центростремительное ускорение электрона a=ω²R обеспечивается силой Лоренца:

F=eμ₀υH

где e - заряд, m_e - масса электрона.
Подставляя сюда выражения для  υ  и a, получим

n=ω/2π=μ₀eH/(2πm_e); подставляем в формулу численные значения и вычисляем ответ.

Задача. Магнитный поток Ф через сечение соленоида равен 50мкВб. Длина соленоида l=50см. Найти магнитный момент соленоида, если его витки плотно прилегают друг к другу.

Пусть через соленоид с площадью поперечного сечения S протекает ток I. Тогда каждый виток соленоида обладает магнитным моментом m₁=IS, а весь соленоид, имеющий N витков m=NIS

Магнитная индукция соленоида длиной L и имеющего N витков равна B=μ₀NI/L

а поток через его площадь S равен Ф=BS

откуда площадь соленоида S=Ф/B=ФL/(μ₀NI)

Окончательно получаем m=ФL/μ₀  ; подставляем в формулу численные значения и вычисляем ответ.

Задача. Металлическое кольцо площадью S=10см² расположено внутри длинного соленоида, имеющего на каждом сантиметре n=5 витков. Плоскость кольца перпендикулярна оси соленоида. Через соленоид пропускают ток, меняющийся по закону I=I(0)-kt, где I(0)=10А, k=0,1А/с. Какой величины сила F действует на каждую единицу длины кольца со стороны магнитного поля в момент времени t=1c, если сопротивление кольца R=10^-3Ом?

Поскольку ток через соленоид меняется, возникает переменное магнитное поле, что приводит к возникновению электрического поля (ЭДС индукции) в кольце. Оно вызывает протекание тока через кольцо, а магнитное поле соленоида действует на этот ток (точнее, на проводник с током – кольцо) с силой, определяемой законом Ампера.

Итак, для соленоида с током I(t) и плотностью намотки n=0,05(витков на метр) индукция магнитного поля равна B=μ₀nI(t)

Поток поля Ф через кольцо равен Ф(t)=Sμ₀nI(t)

По закону электро-магнитной индукции ЭДС индукции равна

E(t)=-∂Ф(t)/∂t=-Sμ₀n(∂I(t)/∂t)

Сила тока в кольце I(t) определяется по закону Ома I(t)=E(t)/R

а искомая сила по закону Ампера F=IB. Подставляя сюда выражения для E и I, получаем F(t)=-(Sμ₀nB(t)/R) (∂I(t)/∂t)

Производную тока по времени находится дифференцированием функции I(t)=I₀-kt. Подставляя производную и выражение для B(t), окончательно получаем

F(t)=S(μ₀n)²k(I₀-kt)/R; подставляем в формулу численные значения и вычисляем ответ.

Задача. Чему должно быть равно отношение длины катушки к ее диаметру, чтобы напряженность магнитного поля в центре катушки можно было найти по формуле для напряженности поля бесконечно длинного соленоида? Ошибка при таком допущении не должна превышать 5%.

Задача. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводам текут токи силой 50А и 100А в противоположных направлениях. Расстояние между проводами 0.2м. Определить магнитную индукцию в точке, удаленной на 0.25м от первого и на 0.4м от второго провода.

Задача. По сечению проводника равномерно распределен ток плотностью 2×10⁶А/м². Найти циркуляцию вектора напряженности вдоль окружности радиусом 5×10^-3м, проходящей внутри проводника и ориентированной так, что ее плоскость составляет угол 30⁰ с вектором плотности тока.

Задача. По тонкому стержню длиной 20см равномерно распределен заряд 0.24мкКл. Стержень приведен во вращение с постоянной угловой скоростью 10рад/с относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину. Определить магнитный момент, обусловленный вращением заряженного стержня; отношение магнитного момента к моменту импульса, если стержень имеет массу 12г.

Задача. По квадратной рамке из тонкой проволоки массой 2г был пропущен ток силой 6А. Рамка свободно подвешена за середину одной из сторон на неупругой нити. Определить период малых колебаний такой рамки в однородном магнитном поле с индукцией 2мТл. Затуханием колебаний пренебречь.

Задача. Протон влетел в однородное магнитное поле под углом 60⁰ к направлению линий поля и движется по спирали, радиус которой 25мм. Индукция магнитного поля 0.05Тл. Найти кинетическую энергию протона.

Задача. Провод в виде тонкого полукольца радиусом 10см находится в однородном магнитном поле с индукцией 50мТл. По проводу течет ток силой 10А. Найти силу, действующую на провод, если плоскость полукольца перпендикулярна линиям индукции, а подводящие провода находятся вне поля.

Задача. Горизонтальный металлический стержень длиной 50см вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов, с частотой 2Гц. Определить разность потенциалов между концами стержня, если вертикальная составляющая напряженность магнитного поля Земли равна 40А/м.

Задача. Проводник длиной 60см и сопротивлением 0.02Ом под действием силы Ампера движется в магнитном поле с индукцией 1.6Тл равномерно со скоростью 50см/с по медным шинам. Шины подключены к источнику ЭДС 0.96В и внутренним сопротивлением 0.01Ом. Поле перпендикулярно плоскости, в которой лежат шины. Определить: 1) силу тока в цепи; 2) мощность, развиваемую движущимся проводником; 3) мощность, расходуемую на нагревание проводника.

Задача. Определить силу тока смещения между квадратными пластинами конденсатора со стороной 5см, если напряженность электрического поля изменяется со скоростью 4.52МВ/(м^.с).

Задача. В одной плоскости с длинным прямым проводом, по которому течет ток силой 50А, расположена прямо угольная рамка так, что две большие стороны ее длиной 0.65м параллельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из этих сторон равно ее ширине. Найти магнитный поток, пронизывающий рамку.

Задача. Обмотка соленоида с железным сердечником содержит 500 витков. Длина сердечника равна 0.5м. Как и во сколько раз изменится индуктивность соленоида, если сила тока, протекающего по обмотке, возрастет от 0.1 до 1А? Использовать график зависимости индукции от напряженности магнитного поля для железа.

Задача. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 2.66нФ и катушки без сердечника, намотанной из медного провода диаметром 0.5мм (витки вплотную, толщиной изоляции пренебречь). Длина катушки 20см. Найти логарифмический декремент затухающих колебаний. Удельное сопротивление меди равно 1.7^.10^-8Ом^.м.

Задача. В цепь переменного тока напряжением 220В и частотой 50Гц включены последовательно емкость 35.4мкФ, активное сопротивление 100Ом и индуктивность 0.7Гн. Найти силу тока и падение напряжения на емкости, активном сопротивлении и индуктивности.

Задача. В цепь переменного тока частотой 50Гц включены катушка индуктивности, амперметр и ваттметр. Показания приборов соответственно120В, 10А, 900Вт. Определить индуктивность катушки, ее активное сопротивление и сдвиг фаз между током и напряжением.

Решения